№ 3. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что ∠OAK=∠OBK (рис.67). Докажите, что AK=BK.

Дано: Окружность с центром O, диаметр DK, хорды KA и KB, ∠OAK = ∠OBK. Доказать: AK = BK. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники ΔOAK и ΔOBK. У них сторона OK - общая. OA = OB как радиусы окружности. ∠OAK = ∠OBK по условию. 2. Рассмотрим треугольники ΔOKA и ΔOKB. ∠OKA и ∠OKB - углы при основании равнобедренных треугольников AOK и BOK, значит ∠OKA = ∠OAK и ∠OKB = ∠OBK. 3. По условию ∠OAK = ∠OBK. Следовательно, ∠OKA = ∠OKB. Таким образом, углы ∠AKD и ∠BKD равны между собой. 4. Рассмотрим треугольники ΔADK и ΔBDK. DK – общая сторона. ∠AKD = ∠BKD. ∠DAK = ∠DBK = 90° (вписанные углы, опирающиеся на диаметр). 5. Следовательно, ΔADK = ΔBDK по стороне и двум прилежащим углам (DK – общая, ∠AKD = ∠BKD и ∠DAK = ∠DBK). 6. Из равенства треугольников ΔADK и ΔBDK следует, что AK = BK. Что и требовалось доказать.