№ 2. К окружности с центром О проведена касательная MN (M – точка касания). Найдите отрезок MN, если ON=12 см и ∠NOM=30°.

Поскольку MN - касательная к окружности с центром O, то OM перпендикулярна MN (свойство касательной). Таким образом, треугольник OMN - прямоугольный, где ∠OMN = 90°. В прямоугольном треугольнике OMN, OM - катет, лежащий против угла ∠NOM = 30°. Длина этого катета равна половине гипотенузы ON: OM = ON / 2 = 12 / 2 = 6 см. Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника OMN: $$OM^2 + MN^2 = ON^2$$ $$6^2 + MN^2 = 12^2$$ $$36 + MN^2 = 144$$ $$MN^2 = 144 - 36$$ $$MN^2 = 108$$ $$MN = \sqrt{108} = \sqrt{36 * 3} = 6\sqrt{3}$$ Ответ: MN = $$6\sqrt{3}$$ см