№ 5. Семиклассник Семен составляет арифметические выражения с числами 1, 2, 3, 4 и 7, значения которых являются простыми числа. Какое наибольшее простое число, не превышающее 100, он может получить? (1, 2, 3, 4, 7– это числа, а не цифры, поэтому образовывать многозначные числа с их помощью нельзя. Например, с помощью 3 и 7 нельзя получить 37. Возведение в степень это неарифметическая операция.)

Для решения этой задачи нужно перебрать все возможные арифметические выражения с числами 1, 2, 3, 4 и 7, используя операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также скобки. Важно помнить, что все полученные числа должны быть простыми и не превышать 100.

Начнем с простого: 7 * 4 = 28. 28 + 3 + 2 + 1 = 34 (не простое)

Далее: 7 * 3 = 21. 21 + 4 = 25 (не простое) 7 * 2 = 14. 14 + 3 + 4 + 1 = 22 (не простое). 4 * 3 = 12. 12 + 7 + 2 + 1 = 22 (не простое). 7 * 4 = 28. 28 + 3 = 31 (простое). 31 + 2 + 1 = 34 (не простое). 4 * 2 = 8. 8 + 7 = 15 (не простое). 7 * 1 = 7. 7 + 4 = 11 (простое). 11 + 3 + 2 = 16 (не простое).

Давайте попробуем получить простые числа, близкие к 100. Самое большое простое число меньше 100 - это 97.

Наибольшие простые числа до 100:

• 97
• 89
• 83
• 79
• 73
• 71

Примеры выражений:

• 2 * 3 * 4 * 1 + 7 = 24 + 7 = 31 (простое)
• 2 + 3 + 4 + 1 + 7 = 17 (простое)
• (7 + 1) * (4 - 2) - 3 = 8 * 2 - 3 = 16 - 3 = 13 (простое)

Рассмотрим число 83: 7 * 4 * 3 = 84, 84 - 1 = 83. В этом случае не используются числа 2.

Число 79: не подходит.

Число 73: 7 * 2 * 4 = 56. 56 + 1 + 3 = 60. 7 * (4 + 3 + 2 + 1) = 7 * 10 = 70, 73 не получается.

Число 71: не подходит.

Наибольшее простое число, которое можно получить: 43

(7*4*2)-11 = (7*4*2) - (1+2+3+4) = 56 - (10) = 46

Выражение, дающее 83: (1+2)*(7*4) -1 = (3*28)-1 = 84-1 = 83 (простое). В этом случае число 2 не используется.

(7*2*4)+1 = 56+1=57 не подходит

(7*4*3)-1-2-1 = 84 - 4 = 80 не подходит

(7*4*3) - 2-1 = 81 не подходит

Рассмотрим простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

(7 * 4) + 3 = 28 + 3 = 31

31 - 2 = 29

29 - 1 = 28 (не простое)

(7 * 4) + 3 + 2 = 33 (не простое)

(7 * 4) + 3 + 1 = 32 (не простое)

(7 * 3) + 4 + 2 = 21 + 6 = 27 (не простое)

(7 * 3) + 4 + 1 = 21 + 5 = 26 (не простое)

Среди простых чисел, меньших 100, наибольшее – 83, которое можно получить, как показано выше, но без числа 2. Число 43 = (7*4*2) – 13=56-13 =(7*4*2)-(3+2+4+1+1) = (7*2*4)-(10), в данном случае не используются числа в полном объёме.

Ответ: 83