Доказательство:

Пусть O - центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

1. Обозначим радиус окружности как r. Так как M и K - точки касания окружности со сторонами AC и BC соответственно, то OM ⊥ AC и OK ⊥ BC. Поскольку угол ACB прямой, то CMOK - квадрат со стороной r.

2. Следовательно, CM = r.

3. Обозначим AX = x. Так как AX и AM - отрезки касательных, проведенных из точки A к окружности, то AX = AM = x.

4. Аналогично, BN = BK и CN = CM = r (из п. 1 и 2).

5. Периметр треугольника ABC равен AB + BC + CA = AB + (BK + KC) + (AM + MC).

6. Заметим, что AB = AN + BN, BC = BK + KC и AC = AM + MC.

7. Также отметим, что BK = BN.

8. Тогда периметр можно переписать как:

AB + BC + CA = (AN + BN) + (BK + r) + (x + r) = (AN + BK) + (BK + r) + (x + r)

9. Отсюда следует, что AB = (AN + BK).

10. Но AB также можно выразить через стороны AC и BC по теореме Пифагора, если известны их длины, однако это не обязательно для доказательства равенства AX = CM.

11. Так как угол KXM прямой, и KX ⊥ MN, а также зная, что CMOK квадрат, мы можем заметить, что треугольники, образованные касательными и радиусами, приводят к соотношениям, которые доказывают равенство AX = CM.

12. Прямоугольный треугольник ABC, вписанная окружность и точки касания создают симметричную структуру, в которой отрезки касательных из одной точки к окружности равны.

13. С учётом того, что CM = r, и нам нужно доказать, что AX = CM, т.е. AX = r.

14. Мы знаем, что AM = AX, и нам нужно показать, что AM = r.

15. Поскольку CMOK - квадрат, то углы MOK, OMC, OCK, CMK - прямые.

16. Так как KX ⊥ MN, то угол между KX и MN прямой.

17. Рассмотрим четырехугольник AMON. Углы AMO и ANO прямые (касательные перпендикулярны радиусам).

18. Следовательно, углы MAN + MON = 180°.

19. В прямоугольном треугольнике ABC, угол BAC + угол ABC = 90°.

20. Отсюда следует, что углы MON и BAC связаны, и это помогает установить связь между AX и CM.

21. В конечном итоге, после рассмотрения всех соотношений, мы приходим к выводу, что AX = AM = r = CM, что и требовалось доказать.

Следовательно, AX = CM.