4) √7x-x²-6 < 2x + 3.

4) Для решения неравенства $$\sqrt{7x - x^2 - 6} < 2x + 3$$ нужно выполнить следующие шаги:

1. Область определения:

   Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $$7x - x^2 - 6 \ge 0$$.

   Также, чтобы неравенство имело смысл, выражение в правой части должно быть больше или равно нулю (т.к. квадратный корень всегда неотрицателен): $$2x + 3 > 0$$.

2. Решение неравенства под корнем:

   $$7x - x^2 - 6 \ge 0$$ можно переписать как $$x^2 - 7x + 6 \le 0$$.

   Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 7x + 6 = 0$$:

   $$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2}$$.

   Таким образом, корни: $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = 6$$. Тогда неравенство выполняется при $$1 \le x \le 6$$.

3. Решение неравенства $$2x + 3 > 0$$:

   $$2x + 3 > 0$$ дает нам $$x > -\frac{3}{2}$$.

4. Комбинированное условие:

   Объединяем эти два условия: $$1 \le x \le 6$$ и $$x > -\frac{3}{2}$$. В итоге, получаем $$1 \le x \le 6$$.

5. Возведение в квадрат:

   Теперь возведем обе части неравенства в квадрат, учитывая, что обе части неотрицательны:

   $$7x - x^2 - 6 < (2x + 3)^2$$ $$7x - x^2 - 6 < 4x^2 + 12x + 9$$ $$0 < 5x^2 + 5x + 15$$ $$0 < x^2 + x + 3$$

6. Решение квадратного неравенства:

   $$x^2 + x + 3 > 0$$. Дискриминант: $$D = 1 - 4(3) = -11 < 0$$. Так как дискриминант отрицательный, и коэффициент при $$x^2$$ положительный, то неравенство выполняется при всех $$x$$.

7. Учет области определения:

   Напомним, что мы нашли, что $$1 \le x \le 6$$. Так как последнее неравенство верно для всех $$x$$, то итоговым решением будет область определения.

Ответ: $$1 \le x \le 6$$