6.5 √x x² + 1 3 √x

Для нахождения производной функции $$\sqrt{x} \left(x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$, необходимо сначала раскрыть скобки, а затем применить правила дифференцирования.

$$ \sqrt{x} \left(x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^2 + x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}} + 1 $$.

1. Производная суммы равна сумме производных: $$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$$.

2. Производная степенной функции: $$(x^n)' = nx^{n-1}$$.

3. Производная константы равна нулю: $$(C)' = 0$$.

Тогда:

$$ (x^{\frac{5}{2}} + 1)' = (x^{\frac{5}{2}})' + (1)' $$.

$$ (x^{\frac{5}{2}})' = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2} - 1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2}x\sqrt{x} $$.

$$ (1)' = 0 $$.

$$ (x^{\frac{5}{2}} + 1)' = \frac{5}{2}x\sqrt{x} + 0 = \frac{5}{2}x\sqrt{x} $$.

Ответ: $$\frac{5}{2}x\sqrt{x}$$