4.° В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О, ВС: AD = 3:5, BD = 24 см. Найдите ВО и OD.

В трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$ параллельны. Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle BOC$$ и $$\triangle DOA$$.

Т.к. $$BC \parallel AD$$, то

• $$\angle CBO = \angle ADO$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущей $$BD$$.
• $$\angle BCO = \angle DAO$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущей $$AC$$.

Следовательно, $$\triangle BOC \sim \triangle DOA$$ по двум углам.

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, то есть

$$\frac{BO}{DO} = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{5}$$.

Пусть $$BO = 3x$$, $$DO = 5x$$, тогда $$BD = BO + DO = 3x + 5x = 8x$$.

Так как по условию $$BD = 24$$ см, то

$$8x = 24$$; $$x = 3$$.

Следовательно,

• $$BO = 3 \cdot 3 = 9$$ см.
• $$DO = 5 \cdot 3 = 15$$ см.

Ответ: $$BO = 9$$ см, $$DO = 15$$ см