Решение показательного уравнения

Для решения уравнения $$3 \cdot 25^x - 8 \cdot 15^x + 5 \cdot 9^x = 0$$, необходимо привести все члены уравнения к одному основанию.

Заметим, что $$25 = 5^2$$, $$15 = 5 \cdot 3$$, и $$9 = 3^2$$. Перепишем уравнение в виде:

$$3 \cdot (5^2)^x - 8 \cdot (5 \cdot 3)^x + 5 \cdot (3^2)^x = 0$$

Используем свойства степеней, чтобы упростить уравнение:

$$3 \cdot 5^{2x} - 8 \cdot 5^x \cdot 3^x + 5 \cdot 3^{2x} = 0$$

Разделим обе части уравнения на $$3^{2x}$$ (поскольку $$3^{2x}
eq 0$$):

$$3 \cdot \frac{5^{2x}}{3^{2x}} - 8 \cdot \frac{5^x \cdot 3^x}{3^{2x}} + 5 \cdot \frac{3^{2x}}{3^{2x}} = 0$$

Упростим:

$$3 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^{2x} - 8 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^x + 5 = 0$$

Теперь сделаем замену: пусть $$t = \left(\frac{5}{3}\right)^x$$. Тогда уравнение примет вид:

$$3t^2 - 8t + 5 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$$

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

$$t_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$ $$t_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Вернемся к замене. Нам нужно найти $$x$$:

1. Для $$t_1 = \frac{5}{3}$$:

   $$\left(\frac{5}{3}\right)^x = \frac{5}{3}$$

   Отсюда $$x = 1$$.

2. Для $$t_2 = 1$$:

   $$\left(\frac{5}{3}\right)^x = 1$$

   Поскольку любое число в степени 0 равно 1, то $$x = 0$$.

Ответ: Корни уравнения $$x = 0$$ и $$x = 1$$.