Решение уравнений

Это задание по алгебре, нужно решить показательные уравнения.

1. $$\sqrt[ ]{\frac{1}{8}} = (\frac{1}{64})^{x}$$

   Преобразуем обе части уравнения, чтобы привести к общему основанию. Заметим, что $$8 = 2^3$$ и $$64 = 2^6$$, поэтому $$\frac{1}{8} = 2^{-3}$$ и $$\frac{1}{64} = 2^{-6}$$.

   $$\sqrt[ ]{2^{-3}} = (2^{-6})^{x}$$

   Запишем корень в виде степени: $$(2^{-3})^{\frac{1}{2}} = 2^{-6x}$$

   Упростим степени: $$2^{-\frac{3}{2}} = 2^{-6x}$$

   Так как основания равны, приравняем показатели степеней: $$-\frac{3}{2} = -6x$$

   Решим уравнение относительно x: $$x = \frac{-\frac{3}{2}}{-6} = \frac{3}{2 \cdot 6} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$

   Ответ: $$x = \frac{1}{4}$$

2. $$\sqrt[7]{9} = 3^{x^{2} - \frac{5}{7}x}$$

   Преобразуем левую часть уравнения. Заметим, что $$9 = 3^2$$, поэтому $$\sqrt[7]{9} = \sqrt[7]{3^2} = (3^2)^{\frac{1}{7}} = 3^{\frac{2}{7}}$$

   Теперь уравнение имеет вид: $$3^{\frac{2}{7}} = 3^{x^{2} - \frac{5}{7}x}$$

   Так как основания равны, приравняем показатели степеней: $$\frac{2}{7} = x^{2} - \frac{5}{7}x$$

   Перенесем все члены в одну сторону и получим квадратное уравнение: $$x^{2} - \frac{5}{7}x - \frac{2}{7} = 0$$

   Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дробей: $$7x^{2} - 5x - 2 = 0$$

   Решим квадратное уравнение через дискриминант:

   $$D = (-5)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81$$

   $$x_{1} = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 7} = \frac{5 + 9}{14} = \frac{14}{14} = 1$$

   $$x_{2} = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 7} = \frac{5 - 9}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$$

   Ответ: $$x_{1} = 1$$, $$x_{2} = -\frac{2}{7}$$