$$\int x \sin x dx$$ равен

Для решения этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид: $$\int u dv = uv - \int v du$$ Выберем $$u$$ и $$dv$$ следующим образом: $$u = x$$ $$dv = \sin x dx$$ Тогда: $$du = dx$$ $$v = \int \sin x dx = -\cos x$$ Теперь подставим это в формулу интегрирования по частям: $$\int x \sin x dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) dx = -x\cos x + \int \cos x dx$$ Интеграл от косинуса равен синусу, поэтому: $$\int \cos x dx = \sin x + C$$ Подставляем это обратно в наше выражение: $$\int x \sin x dx = -x\cos x + \sin x + C$$ Таким образом, интеграл равен: $$\sin x - x\cos x + C$$. Ответ: sin x - x cos x + C