$$\int sin^2 2x d(sin 2x)$$

Для решения данного интеграла, выполним замену переменной: пусть $$u = sin(2x)$$. Тогда $$du = d(sin(2x))$$.

Теперь интеграл можно переписать в виде:

$$ int u^2 du $$

Это простой интеграл, который можно вычислить, используя правило интегрирования степенной функции:

$$ int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C $$

В нашем случае $$n = 2$$, поэтому:

$$ int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C $$

Теперь вернемся к исходной переменной $$x$$, подставив $$sin(2x)$$ вместо $$u$$:

$$ \frac{(sin(2x))^3}{3} + C = \frac{sin^3(2x)}{3} + C $$

Ответ:

$$ \frac{sin^3(2x)}{3} + C $$