7.116. $$\int \frac{dx}{x + \sqrt{x}}$$, $$x = t^2$$. 7.117. $$\int \frac{e^{2x}}{e^x + 1}dx$$, $$x = \ln t$$.

Оба примера - это задачи на интегрирование с заменой переменной. Решим их по очереди. <p><strong>7.116</strong></p> $$\int \frac{dx}{x + \sqrt{x}}, \quad x = t^2$$ 1. Выразим $$dx$$ через $$dt$$: $$x = t^2 \implies dx = 2t , dt$$ 2. Подставим в интеграл: $$\int \frac{2t , dt}{t^2 + t} = 2 \int \frac{t , dt}{t(t + 1)} = 2 \int \frac{dt}{t + 1}$$ 3. Вычислим интеграл: $$2 \int \frac{dt}{t + 1} = 2 \ln|t + 1| + C$$ 4. Выразим $$t$$ через $$x$$: $$x = t^2 \implies t = \sqrt{x}$$ 5. Запишем окончательный ответ: $$2 \ln|\sqrt{x} + 1| + C$$ <p><strong>7.117</strong></p> $$\int \frac{e^{2x}}{e^x + 1} dx, \quad x = \ln t$$ 1. Выразим $$dx$$ через $$dt$$: $$x = \ln t \implies dx = \frac{dt}{t}$$ 2. Выразим $$e^x$$ через $$t$$: $$x = \ln t \implies e^x = t$$ 3. Подставим в интеграл: $$\int \frac{t^2}{t + 1} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{t}{t + 1} dt$$ 4. Преобразуем подынтегральное выражение: $$\int \frac{t}{t + 1} dt = \int \frac{t + 1 - 1}{t + 1} dt = \int \left(1 - \frac{1}{t + 1}\right) dt$$ 5. Вычислим интеграл: $$\int \left(1 - \frac{1}{t + 1}\right) dt = t - \ln|t + 1| + C$$ 6. Выразим $$t$$ через $$x$$: $$t = e^x$$ 7. Запишем окончательный ответ: $$e^x - \ln|e^x + 1| + C$$