Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам Задание 55

$$\boxed{{\displaystyle \mathbf{55.}}}$$

$$\mathbf{\text{а)}}\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}>0$$

$$1)\{\begin{array}{c}\sqrt{x}-2>0\\ x-1>0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}\sqrt{x}>2\\ x\ge 0\\ x>1\\ x\ne 1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}x>4\\ x\ge 0\\ x>1\\ x\ne 1\end{array}$$

$$x>4.$$

$$2)\{\begin{array}{c}\sqrt{x}-2<0\\ x-1<0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}\sqrt{x}<2\\ x\ge 0\\ x<1\\ x\ne 1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}x<4\\ x\ge 0\\ x<1\\ x\ne 1\end{array}$$

$$0\le x<1.$$

$$Объединимрешения:$$

$$x\in [0;1)\cup (4;+\mathrm{\infty }).$$

$$Ответ:x\in [0;1)\cup (4;+\mathrm{\infty }).$$

$$\mathbf{\text{б)}}\frac{\sqrt{x}-3}{2-x}<0$$

$$1)\{\begin{array}{c}\sqrt{x}-3>0\\ 2-x<0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}\sqrt{x}>3\\ x\ge 0\\ x>2\\ x\ne 2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}x>9\\ x\ge 0\\ x>2\\ x\ne 2\end{array}$$

$$x>9.$$

$$2)\{\begin{array}{c}\sqrt{x}-3<0\\ 2-x>0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}\sqrt{x}<3\\ x\ge 0\\ x<2\\ x\ne 2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}x<9\\ x\ge 0\\ x<2\\ x\ne 2\end{array}$$

$$0\le x<2.$$

$$Объединимрешения:$$

$$x\in [0;2)\cup (9;+\mathrm{\infty }).$$

$$Ответ:x\in [0;2)\cup (9;+\mathrm{\infty }).$$

$$\mathbf{\text{в)}}\frac{\sqrt{-x}-2}{-2-x}>0$$

$$1)\{\begin{array}{c}\sqrt{-x}-2>0\\ -2-x>0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}\sqrt{-x}>2\\ -x\ge 0\\ -x>2\\ x\ne -2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}-x>4\\ x\le 0\\ x<-2\\ x\ne -2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}x<-4\\ x\le 0\\ x<-2\\ x\ne -2\end{array}$$

$$x<-4.$$

$$2)\{\begin{array}{c}\sqrt{-x}-2<0\\ -2-x<0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}\sqrt{-x}<2\\ -x\ge 0\\ -x<2\\ x=-2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}-x<4\\ x\le 0\\ x>-2\\ x\ne -2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}x>-4\\ x\le 0\\ x>-2\\ x\ne -2\end{array}$$

$$-2<x\le 0.$$

$$Объединимрешения:$$

$$x\in (-\mathrm{\infty };-4)\cup (-2;0].$$

$$Ответ:x\in (-\mathrm{\infty };-4)\cup (-2;0].$$

$$\mathbf{\text{г)}}\frac{\sqrt{-x}-3}{x+2}<0$$

$$1)\{\begin{array}{c}\sqrt{-x}-3<0\\ x+2>0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}\sqrt{-x}<3\\ -x\ge 0\\ x>-2\\ x\ne -2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}-x<9\\ x\le 0\\ x>-2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}x>-9\\ x\le 0\\ x>-2\end{array}$$

$$-2<x\le 0.$$

$$2)\{\begin{array}{c}\sqrt{-x}-3>0\\ x+2<0\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}\sqrt{-x}>3\\ -x\ge 0\\ x<-2\\ x\ne -2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}-x>9\\ x\le 0\\ x<-2\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}x<-9\\ x\le 0\\ x<-2\end{array}$$

$$x<-9.$$

$$Объединимрешения:$$

$$x\in (-\mathrm{\infty };-9)\cup (-2;0].$$

$$Ответ:x\in (-\mathrm{\infty };-9)\cup (-2;0].$$