Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 405

$$1)1+3+5+\dots +(2n-1)=n^2$$

$$n=1:$$

$$2\bullet 1-1=1=1^2.$$

$$n=k+1:$$

$$1+3+5+\dots +(2(k+1)-1)=$$

$$=(k+1{)}^2;$$

$$1+3+5+\dots +(2k-1)+(2k+1)=$$

$$=k^2+2k+1;$$

$$k^2+(2k+1)=k^2+(2k+1).$$

$$Чтоитребовалосьдоказать.$$

$$2)3+5+7+\dots +(2n+1)=n(n+2)$$

$$n=1:$$

$$2\bullet 1+1=3=1(1+2).$$

$$n=k+1:$$

$$3+5+7+\dots +(2(k+1)+1)=$$

$$=(k+1)(k+3);$$

$$3+5+7+\dots +(2k+1)+(2k+3)=$$

$$=k^2+4k+3;$$

$$k(k+2)+(2k+3)=$$

$$=k(k+2)+(2k+3).$$

$$Чтоитребовалосьдоказать.$$

$$3)1+2+4+\dots +2^{n-1}=2^n-1$$

$$n=1:$$

$$2^{1-1}=1=2^1-1.$$

$$n=k+1:$$

$$1+2+4+\dots +2^k=2^{k+1}-1;$$

$$1+2+4+\dots +2^{k-1}=$$

$$=2\bullet 2^k-2^k-1;$$

$$2^k-1=2^k-1.$$

$$Чтоитребовалосьдоказать.$$

$$4)3+9+27+\dots +3^n=\frac{3}{2}(3^n-1)$$

$$n=1:$$

$$3^1=3=\frac{3}{2}(3^1-1).$$

$$n=k+1:$$

$$3+9+27+\dots +3^{k+1}=$$

$$=\frac{3}{2}(3^{k+1}-1);$$

$$3+9+27+\dots +3^k+3^{k+1}=$$

$$=\frac{3}{2}(3^{k+1}-1);$$

$$\frac{3}{2}(3^k-1)+3^{k+1}=\frac{3}{2}(3^{k+1}-1);$$

$$3(3^k-1)+2\bullet 3\bullet 3^k=$$

$$=3(3\bullet 3^k-1);$$

$$3\bullet 3^k-3+6\bullet 3^k=9\bullet 3^k-3;$$

$$9\bullet 3^k-3=9\bullet 3^k-3.$$

$$Чтоитребовалосьдоказать.$$