ГДЗ > 📚 Алгебра > 10 класс > 📗 Алгебра и начала математического анализа 10 класс Колягин, Ткачева > 🧠 Задание 908

Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 908

Алгебра и начала математического анализа 10 класс Колягин, Ткачева Просвещение

Содержание

Авторы:Колягин, Ткачева

Тип:учебник

Задание 908

$908 .$

$1) 4 \log_{4} x - 33 \log_{x} 4 \leq 1$

$4 \log_{4} x - 33 ∙ \frac{\log_{4} 4}{\log_{4} x} - 1 \leq 0$

$4 \log_{4} x - \frac{33}{\log_{4} x} - 1 \leq 0$

$П у с т ь y = \log_{4} x :$

$4 y - \frac{33}{y} - 1 \leq 0$

$\frac{4 y^{2} - y - 33}{y} \leq 0$

$D = 1^{2} + 4 ∙ 4 ∙ 33 =$

$= 1 + 528 = 529$

$y_{1} = \frac{1 - 23}{2 ∙ 4} = - \frac{22}{8} = - \frac{11}{4};$

$y_{2} = \frac{1 + 23}{2 ∙ 4} = \frac{24}{8} = 3.$

$\frac{(y + \frac{11}{4}) (y - 3)}{y} \leq 0$

$(y + \frac{11}{4}) ∙ y ∙ (y - 3) \leq 0$

$y \leq - \frac{11}{4}; \ \ 0 < y \leq 3.$

$1) \log_{4} x \leq - \frac{11}{4}$

$\log_{4} x \leq \log_{4} 4^{- \frac{11}{4}}$

$x \leq 4^{- \frac{11}{4}}$

$x \leq \sqrt[4]{4^{- 11}} .$

$2) \log_{4} x > 0$

$\log_{4} x > \log_{4} 1$

$x > 1.$

$3) \log_{4} x \leq 3$

$\log_{4} x \leq \log_{4} 4^{3}$

$x \leq 4^{3}$

$x \leq 64.$

$и м е е т с м ы с л п р и :$

$x > 0; \ \ x \neq 1.$

$О т в е т : 0 < x \leq \sqrt[4]{4^{- 11}};$

$1 < x \leq 64.$

$2) \log_{x} 3 \leq 4 (1 + \log_{\frac{1}{3}} x)$

$\frac{\log_{3} 3}{\log_{3} x} \leq 4 (1 + \log_{3^{- 1}} x)$

$\frac{1}{\log_{3} x} \leq 4 (1 - \log_{3} x)$

$П у с т ь y = \log_{3} x :$

$\frac{1}{y} \leq 4 (1 - y)$

$\frac{1 - 4 y (1 - y)}{y} \leq 0$

$\frac{1 - 4 y + 4 y^{2}}{y} \leq 0$

$\frac{(1 - 2 y)^{2}}{y} \leq 0$

$y < 0 и y = \frac{1}{2} .$

$1) \log_{3} x < 0$

$\log_{3} x < \log_{3} 1$

$x < 1.$

$2) \log_{3} x = \frac{1}{2}$

$\log_{3} x = \log_{3} 3^{\frac{1}{2}}$

$x = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} .$

$и м е е т с м ы с л п р и :$

$x > 0; x \neq 1.$

$О т в е т : 0 < x < 1; x = \sqrt{3} .$

$3) \log_{x + 2} x ² > 1$

$О б л а с т ь о п р е д е л е н и я :$

$x \neq 0; x > - 2.$

$\log_{x + 2} x^{2} > \log_{x + 2} (x + 2)$

${\begin{matrix} x + 2 > 1 \\ x^{2} > x + 2 \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \$

${\begin{matrix} x > - 1 \\ (x + 1) (x - 2) > 0 \end{matrix} \ \ \ \ \ \$

${\begin{matrix} x > - 1 \\ x < - 1 \\ x > 2 \end{matrix} \to x > 2.$

$x^{2} - x - 2 > 0$

$(x + 1) (x - 2) > 0.$

${\begin{matrix} 0 < x + 2 < 1 \\ x^{2} < x + 2 \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$

${\begin{matrix} - 2 < x < - 1 \\ (x + 1) (x - 2) > 0 \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \$

${\begin{matrix} - 2 < x < - 1 \\ - 1 < x < 2 \end{matrix} \to н е т р е ш е н и й .$

$О т в е т : x > 2.$

$4) \log_{x^{2} + 2} (3 x + 6) \leq 1$

$О б л а с т ь о п р е д е л е н и я :$

$3 x + 6 > 0$

$3 x > - 6$

$x > - 2.$

$\log_{x^{2} + 2} (3 x + 6) \leq$

$\leq \log_{x^{2} + 2} (x^{2} + 2)$

${\begin{matrix} x > - 2 \\ x^{2} + 2 \geq 3 x + 6 \end{matrix}$

$x^{2} + 2 - 3 x - 6 \geq 0$

$x^{2} - 3 x - 4 \geq 0$

$x_{1} + x_{2} = 3; x_{1} \cdot x_{2} = - 4$

$x_{1} = 4; x_{2} = - 1$

$(x + 1) (x - 4) \geq 0$

${\begin{matrix} x > - 2 \\ x \leq - 1 \\ x \geq 4 \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\begin{matrix} - 2 < x \leq - 1 \\ x \geq 4 \end{matrix}$

$О т в е т : - 2 < x \leq - 1; x \geq - 4.$

Все номера

907 908 909