Дано:

Прямые $$m$$ и $$n$$ параллельны ($$m \nparallel n$$).
\[ ∠1 = 111^\circ \]
\[ ∠2 = 18^\circ \]

Найти: ∠3

Решение:

Чтобы найти ∠3, нам нужно провести вспомогательную прямую.

Проведем прямую $$k$$, параллельную $$m$$ и $$n$$, через вершину угла ∠3.
Таким образом, мы разделим угол ∠3 на две части: ∠3_1 и ∠3_2.
∠3 = ∠3_1 + ∠3_2
Найдем ∠3_1:
∠1 и ∠3_1 являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $$m$$ и $$k$$ и секущей. Однако, на рисунке ∠1 не является накрест лежащим углом к какой-либо части ∠3. Давайте проанализируем углы иначе.
Рассмотрим углы, смежные с ∠1 и ∠2:
Пусть ∠1' — угол, смежный с ∠1. Тогда ∠1' = 180° - 111° = 69°.
Пусть ∠2' — угол, смежный с ∠2. Тогда ∠2' = 180° - 18° = 162°.
Это не помогает нам напрямую.
Переосмыслим рисунок и обозначения:
Предположим, что ∠1 и ∠2 — это внешние углы, или углы, образованные секущей и одной из параллельных прямых.
Вариант 1: Проведем прямую через вершину ∠3, параллельную $$m$$ и $$n$$.
- Пусть ∠3 разделен на ∠3_a и ∠3_b.
- ∠1 = 111°. Угол, прилежащий к нему, равен 180° - 111° = 69°. Этот угол и ∠3_a будут накрест лежащими, если секущая проходит через вершину ∠3.
- ∠2 = 18°. Угол, прилежащий к нему, равен 180° - 18° = 162°. Это не помогает.
Вариант 2: Используем свойства углов при параллельных прямых.
Пусть секущая пересекает прямую $$m$$ в точке A, прямую $$n$$ в точке B. Угол ∠1 = 111° образован секущей и прямой $$m$$. Угол ∠2 = 18° образован секущей и прямой $$n$$. Угол ∠3 находится между двумя секущими.
На рисунке видно, что ∠1 и ∠3 расположены так, что ∠1 является внешним углом, а ∠3 — частью угла, образованного двумя секущими. ∠2 также является углом, образованным секущей и прямой $$n$$.
Проведем прямую $$k$$ через вершину угла ∠3, параллельную $$m$$ и $$n$$.
Пусть ∠3 = ∠3a + ∠3b, где ∠3a — часть, прилежащая к углу ∠1, а ∠3b — часть, прилежащая к углу ∠2.
Угол ∠1 = 111°. Угол, который является соответственным с ∠3a (если бы ∠1 был образован с той же секущей, что и ∠3a), был бы равен 111°. Но ∠1 и ∠3a не соответственные.
Давайте рассмотрим внутренние односторонние углы.
Угол, смежный с ∠1, равен $$180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$$. Этот угол и часть угла, лежащая между $$m$$ и $$k$$ (ближайшая к ∠1), являются внутренними односторонними. Следовательно, эта часть угла равна $$180^\circ - 69^\circ = 111^\circ$$. Это не помогает.
Правильный подход:
Угол ∠1 = 111°. Угол, смежный с ним, равен $$180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$$. Этот угол и часть угла ∠3, которая прилегает к ∠1, являются накрест лежащими при параллельных прямых $$m$$ и $$n$$ и секущей. НЕТ, это не так.
Рассмотрим внутренний угол, образованный секущей и прямой $$m$$:
Угол $$111^\circ$$ и внутренний односторонний угол с ним в сумме дают $$180^\circ$$. Значит, внутренний угол равен $$180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$$.
Рассмотрим внутренний угол, образованный секущей и прямой $$n$$:
Угол $$18^\circ$$ и внутренний угол с ним в сумме дают $$180^\circ$$ (если они односторонние) или равны (если накрест лежащие).
Вернемся к вспомогательной прямой $$k$$ через вершину ∠3.
Пусть ∠3 = ∠3_1 + ∠3_2.
Угол ∠1 = 111°. Он является внешним углом. Угол, соответствующий ему, будет равен 111°. Однако, ∠3_1 находится между параллельными прямыми.
Рассмотрим угол, смежный с ∠1, он равен $$180^\circ - 111^\circ = 69^\circ$$. Этот угол является накрест лежащим углу ∠3_1 при параллельных прямых $$m$$ и $$k$$. Следовательно, ∠3_1 = 69°.
Угол ∠2 = 18°. Этот угол является накрест лежащим углу ∠3_2 при параллельных прямых $$n$$ и $$k$$. Следовательно, ∠3_2 = 18°.
Теперь сложим части угла ∠3:
∠3 = ∠3_1 + ∠3_2 = 69° + 18° = 87°.

Ответ: 87

Поделись с друзьями