Краткая запись:

Выражения: 1. \( \frac{(7\sqrt{11})^2}{110} \) 2. \( \frac{48}{(2\sqrt{6})^2} \) 3. \( (\sqrt{23}-4)(\sqrt{23}+4) \) 4. \( (\sqrt{15}-\sqrt{7})(\sqrt{15}+\sqrt{7}) \) 5. \( (\sqrt{14}-3)^2+6\sqrt{14} \) 6. \( \frac{1}{4+\sqrt{14}} + \frac{1}{4-\sqrt{14}} \) 7. \( \frac{1}{\sqrt{37}-6} - \frac{1}{\sqrt{37}+6} \)
Найти: Значения выражений

Краткое пояснение: Каждое выражение упрощается с использованием свойств степеней, разности квадратов, квадрата разности и правил работы с дробями.

Пошаговое решение:

1. \( \frac{(7\sqrt{11})^2}{110} \)
\[ \frac{(7\sqrt{11})^2}{110} = \frac{7^2 \cdot (\sqrt{11})^2}{110} = \frac{49 \cdot 11}{110} = \frac{539}{110} = \frac{49 \cdot 11}{10 \cdot 11} = \frac{49}{10} = 4.9 \]
2. \( \frac{48}{(2\sqrt{6})^2} \)
\[ \frac{48}{(2\sqrt{6})^2} = \frac{48}{2^2 \cdot (\sqrt{6})^2} = \frac{48}{4 \cdot 6} = \frac{48}{24} = 2 \]
3. \( (\sqrt{23}-4)(\sqrt{23}+4) \)
Используем формулу разности квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \).
\[ (\sqrt{23}-4)(\sqrt{23}+4) = (\sqrt{23})^2 - 4^2 = 23 - 16 = 7 \]
4. \( (\sqrt{15}-\sqrt{7})(\sqrt{15}+\sqrt{7}) \)
Используем формулу разности квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \).
\[ (\sqrt{15}-\sqrt{7})(\sqrt{15}+\sqrt{7}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{7})^2 = 15 - 7 = 8 \]
5. \( (\sqrt{14}-3)^2+6\sqrt{14} \)
Используем формулу квадрата разности: \( (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \).
\[ (\sqrt{14}-3)^2+6\sqrt{14} = ((\sqrt{14})^2 - 2 \cdot \sqrt{14} \cdot 3 + 3^2) + 6\sqrt{14} = (14 - 6\sqrt{14} + 9) + 6\sqrt{14} = 14 + 9 - 6\sqrt{14} + 6\sqrt{14} = 23 \]
6. \( \frac{1}{4+\sqrt{14}} + \frac{1}{4-\sqrt{14}} \)
Приводим к общему знаменателю \( (4+\sqrt{14})(4-\sqrt{14}) = 4^2 - (\sqrt{14})^2 = 16 - 14 = 2 \).
\[ \frac{1(4-\sqrt{14})}{(4+\sqrt{14})(4-\sqrt{14})} + \frac{1(4+\sqrt{14})}{(4-\sqrt{14})(4+\sqrt{14})} = \frac{4-\sqrt{14}}{2} + \frac{4+\sqrt{14}}{2} = \frac{4-\sqrt{14}+4+\sqrt{14}}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
7. \( \frac{1}{\sqrt{37}-6} - \frac{1}{\sqrt{37}+6} \)
Приводим к общему знаменателю \( (\sqrt{37}-6)(\sqrt{37}+6) = (\sqrt{37})^2 - 6^2 = 37 - 36 = 1 \).
\[ \frac{1(\sqrt{37}+6)}{(\sqrt{37}-6)(\sqrt{37}+6)} - \frac{1(\sqrt{37}-6)}{(\sqrt{37}+6)(\sqrt{37}-6)} = \frac{\sqrt{37}+6}{1} - \frac{\sqrt{37}-6}{1} = (\sqrt{37}+6) - (\sqrt{37}-6) = \sqrt{37}+6 - \sqrt{37}+6 = 12 \]

Ответ: 1. 4.9; 2. 2; 3. 7; 4. 8; 5. 23; 6. 4; 7. 12

Поделись с друзьями