Задание 24. Хорды и перпендикуляры

Дано:

Окружность с центром О.
Хорды АВ и CD.
\( \angle AOB = \angle COD \) (центральные углы).
ОК ⊥ АВ, OL ⊥ CD (ОК и OL — перпендикуляры).

Доказать: \( OK = OL \).

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOB \) и \( \triangle COD \).

1. \( OA = OB = OC = OD = R \) (радиусы окружности).

2. \( \angle AOB = \angle COD \) (по условию).

По двум сторонам и углу между ними (по признаку равенства треугольников), \( \triangle AOB = \triangle COD \).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны, в том числе и площади. Однако, нам нужны перпендикуляры.

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOK \) и \( \triangle COL \) (или \( \triangle CO L \) если точки расположены иначе, но суть остается той же).

В \( \triangle AOK \):

1. \( OA = R \) (гипотенуза).

2. \( \angle AKO = 90^\circ \) (по условию, ОК ⊥ АВ).

3. \( \angle AOK = \frac{1}{2} \angle AOB \) (так как перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит центральный угол пополам).

Аналогично в \( \triangle COL \):

1. \( OC = R \) (гипотенуза).

2. \( \angle CLO = 90^\circ \) (по условию, OL ⊥ CD).

3. \( \angle COL = \frac{1}{2} \angle COD \) (так как перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит центральный угол пополам).

По условию, \( \angle AOB = \angle COD \). Следовательно, \( \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \angle COD \), то есть \( \angle AOK = \angle COL \).

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника \( \triangle AOK \) и \( \triangle COL \) с:

Равными гипотенузами \( OA = OC = R \).
Равными острыми углами \( \angle AOK = \angle COL \).

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу), \( \triangle AOK = \triangle COL \).

Из равенства этих треугольников следует, что их соответствующие катеты равны, а значит, \( OK = OL \).

Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями