4. Нахождение отрезка МС

Дано:

\( \triangle ABC \).

\( \angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3 \).

\( BM \) — биссектриса \( \angle ABC \).

\( BM = 6 \).

Найти:

\( MC \).

Решение:

Пусть \( \angle A = x \).

Тогда \( \angle B = 2x \) и \( \angle C = 3x \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \):

\( x + 2x + 3x = 180^{\circ} \)

\( 6x = 180^{\circ} \)

\( x = 30^{\circ} \).

Следовательно:

\( \angle A = 30^{\circ} \)

\( \angle B = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \)

\( \angle C = 3 \cdot 30^{\circ} = 90^{\circ} \).

Итак, \( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник с \( \angle C = 90^{\circ} \).

\( BM \) — биссектриса \( \angle ABC \), значит, она делит \( \angle ABC \) пополам:

\( \angle ABM = \angle MBC = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle MBC \).

\( \angle MBC = 30^{\circ} \), \( \angle C = 90^{\circ} \).

Сумма углов \( \triangle MBC \): \( \angle MBC + \angle C + \angle BMC = 180^{\circ} \).

\( 30^{\circ} + 90^{\circ} + \angle BMC = 180^{\circ} \)

\( \angle BMC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

В \( \triangle MBC \) угол \( \angle MBC = 30^{\circ} \), а угол \( \angle C = 90^{\circ} \). Треугольник является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике напротив угла в \( 30^{\circ} \) лежит катет, равный половине гипотенузы.

В \( \triangle MBC \) катет \( MC \) лежит напротив угла \( \angle MBC = 30^{\circ} \). Гипотенуза — сторона \( BC \).

\( MC = \frac{1}{2} BC \).

Теперь найдем \( BC \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle A = 30^{\circ} \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( BM = 6 \) (биссектриса).

Рассмотрим \( \triangle ABM \).

\( \angle A = 30^{\circ} \), \( \angle ABM = 30^{\circ} \).

Значит, \( \triangle ABM \) — равнобедренный с \( AM = BM = 6 \).

В прямоугольном \( \triangle ABC \):

\( \sin A = \frac{BC}{AC} \) (неправильно, \( BC \) - катет, \( AC \) - другой катет, \( AB \) - гипотенуза).

\( \sin A = \frac{BC}{AB} \) → \( BC = AB \cdot \sin 30^{\circ} = AB \cdot \frac{1}{2} \).

\( \cos A = \frac{AC}{AB} \) → \( AC = AB \cdot \cos 30^{\circ} = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Мы знаем, что \( AB = AM + MC \) (нет, \( AC = AM + MC \) - это если M на AC, а M на AB).

\( AB = AM + MB \) (нет, M на стороне AC, а BM - биссектриса).

M лежит на стороне AC, так как BM - биссектриса угла B. Угол B=60, угол A=30, угол C=90.

\( \angle ABM = \angle MBC = 30^{\circ} \). M лежит на стороне AC.

Рассмотрим \( \triangle ABM \): \( \angle A = 30^{\circ} \), \( \angle ABM = 30^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle ABM \) — равнобедренный, и \( AM = BM = 6 \).

Теперь рассмотрим \( \triangle MBC \): \( \angle MBC = 30^{\circ} \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( BM = 6 \).

В прямоугольном \( \triangle MBC \):

\( MC \) — катет, противолежащий углу \( \angle MBC = 30^{\circ} \).

\( BC \) — катет, противолежащий углу \( \angle BMC = 60^{\circ} \).

\( BM \) — гипотенуза.

\( MC = BM \cdot \sin 30^{\circ} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \).

Ответ: Длина отрезка МС равна 3.

Поделись с друзьями