Обозначим три пары первого дня. Всего способов разбить шестерых на пары:

Выберем партнёра для первого гнома — 5 вариантов. Оставшихся четырёх можно разбить на пары 3 способами. Получаем \(5\cdot3=15\) разбиений.

Теперь исключим разбиения, в которых повторилась хотя бы одна пара первого дня. Для каждой из трёх прежних пар существует 3 разбиения с этой парой: оставшихся четырёх гномов можно разбить на пары тремя способами. Итого сначала вычитаем \(3\cdot3=9\).

Но разбиения, содержащие сразу две прежние пары, при этом вычтены дважды. Таких разбиений 3 — по одному для каждого выбора двух прежних пар. Добавим их обратно. Разбиение, содержащее все три прежние пары, после этого учтено лишний раз; вычтем его.

Искомое количество: \(15-9+3-1=8\).

Ответ: 8 способов.

Поделись с друзьями