а) Подкоренные множители \(\sqrt[4]{c}\) и \(\sqrt[4]{c^{-1}}\) взаимно обратны, поэтому их произведение равно 1. Область определения требует \(c>0\). Тогда

\(\sqrt[3]{c\cdot\sqrt[4]{c}\cdot\sqrt[4]{c^{-1}}}=\sqrt[3]{c}\).

б) Обозначим \(t=\sqrt[8]{x}\), где \(x\ge0\). Тогда \(\sqrt[8]{x^3}=t^3\), а \(\sqrt[3]{x}=t^{8/3}\). Разложим разность кубов:

\(\frac{t^3-4}{t+2}-t^{8/3}=\frac{(t-\sqrt[3]{4})(t^2+t\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16})}{t+2}-t^{8/3}\).

Здесь числитель исходной дроби — разность кубов \((\sqrt[8]{x})^3-\sqrt[3]{4}\); знаменатель не является соответствующим множителем, поэтому дальнейшего сокращения нет. Возвращая \(t=\sqrt[8]{x}\), получаем

\(\frac{x^{3/8}-4}{x^{1/8}+2}-x^{1/3}\).

Ответ: а) \(\sqrt[3]{c}\); б) \(\dfrac{\sqrt[8]{x^3}-4}{\sqrt[8]{x}+2}-\sqrt[3]{x}\) (сокращения не происходит).

Поделись с друзьями