Жук ползёт вверх по стволу дерева со скоростью 6 см/с. По тому же дереву ползёт вниз гусеница. Сейчас она находится на 60 см ниже жука. С какой скоростью ползёт гусеница, если через 5 с расстояние между ней и жуком будет 100 см?

Решение:

1. Определим, какое расстояние прополз жук за 5 секунд. Скорость жука \( v_ж = 6 \) см/с. Время \( t = 5 \) с. Расстояние \( S_ж = v_ж \cdot t = 6 \text{ см/с} \cdot 5 \text{ с} = 30 \) см.
2. Найдем начальное расстояние между жуком и гусеницей. Жук находился выше гусеницы на \( 60 \) см.
3. Определим, какое расстояние жук преодолел от начальной точки за 5 секунд. Это \( 30 \) см.
4. В начальный момент времени жук был на \( 60 \) см выше гусеницы. За \( 5 \) секунд он поднялся ещё на \( 30 \) см. Значит, его новое положение относительно начальной точки гусеницы стало \( 60 + 30 = 90 \) см.
5. Через 5 секунд расстояние между жуком и гусеницей стало \( 100 \) см. Это значит, что гусеница за \( 5 \) секунд проползла расстояние \( S_г = 90 \text{ см} - 100 \text{ см} = -10 \) см. Это не имеет физического смысла, так как гусеница ползёт вниз.
6. Переосмыслим задачу: Пусть \( v_г \) — скорость гусеницы. Тогда за \( 5 \) секунд она проползет \( S_г = v_г \cdot t = 5 v_г \) см.
7. Начальное положение жука относительно гусеницы: \( h_0 = 60 \) см.
8. Положение жука через \( t=5 \) секунд: \( h_ж = h_0 + v_ж = 60 + 6 = 60 + 30 = 90 \) см.
9. Положение гусеницы через \( t=5 \) секунд: \( h_{г = -v_г = -5v_г \) см (если принять начальную точку гусеницы за 0 и направление вверх положительным).
10. Расстояние между ними через 5 секунд: \( S = h_ж - h_г = 90 - (-5v_г) = 90 + 5v_г \).
11. По условию \( S = 100 \) см.
12. Составим уравнение: \( 90 + 5v_г = 100 \).
13. Решим уравнение: \( 5v_г = 100 - 90 \) \( 5v_г = 10 \) \( v_г = \frac{10}{5} = 2 \) см/с.

Ответ: Скорость гусеницы 2 см/с.