Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле T(t) = T₀ + bt + at², где t – время в минутах, T₀ = 1300 К, a = -14/3 К/мин², b = 98 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1720 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение:

Температура нагревательного элемента описывается формулой: \( T(t) = T_0 + bt + at^2 \)

Нам даны следующие значения:

• \( T_0 = 1300 \) К
• \( a = -\frac{14}{3} \) К/мин²
• \( b = 98 \) К/мин

Прибор может испортиться, если температура превысит \( 1720 \) К. Следовательно, нам нужно найти время \( t \), когда \( T(t) = 1720 \) К.

Подставим известные значения в формулу:

\[ 1720 = 1300 + 98t - \frac{14}{3}t^2 \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ \frac{14}{3}t^2 - 98t + 1720 - 1300 = 0 \]

\[ \frac{14}{3}t^2 - 98t + 420 = 0 \]

Чтобы упростить уравнение, умножим обе стороны на 3:

\[ 14t^2 - 294t + 1260 = 0 \]

Теперь разделим обе стороны на 14:

\[ t^2 - 21t + 90 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: \( t_1 + t_2 = 21 \)

Произведение корней: \( t_1 \cdot t_2 = 90 \)

Найдём два числа, которые в сумме дают 21, а в произведении — 90. Это числа 6 и 15.

\( 6 + 15 = 21 \)

\( 6 \cdot 15 = 90 \)

Таким образом, существует два момента времени, когда температура достигает \( 1720 \) К: \( t_1 = 6 \) минут и \( t_2 = 15 \) минут.

Поскольку значение \( a \) отрицательное (\( a = -\frac{14}{3} \)), парабола, описывающая зависимость температуры от времени, направлена вниз. Это означает, что температура сначала растёт, достигает максимума, а затем начинает снижаться. В нашем случае, так как \( T_0 = 1300 \) К и \( b = 98 \) К/мин (положительное), температура сначала растёт. Следовательно, \( t = 6 \) минут — это время, когда температура впервые достигает \( 1720 \) К, а \( t = 15 \) минут — это время, когда температура, пройдя пик, снова достигает \( 1720 \) К.

Чтобы прибор не испортился, его нужно отключить до того, как температура превысит \( 1720 \) К. Наибольшее время, через которое прибор можно отключить, чтобы температура не превысила \( 1720 \) К, — это момент, когда температура впервые достигает этого значения. Таким образом, это наименьший из найденных корней.

Наибольшее время после начала работы, через которое нужно отключить прибор, чтобы температура не превысила \( 1720 \) К, равно наименьшему времени, когда температура достигает \( 1720 \) К.

Ответ: 6 минут.