Зависимость координат частицы от времени имеет вид x = acoswt, y = asinwt, z = 0. Укажите выражение для скорости частицы.

Решение:

Заданы координаты частицы как функции времени: \( x(t) = a\cos(\omega t) \) и \( y(t) = a\sin(\omega t) \).

Скорость частицы — это вектор, первая производная от радиус-вектора положения по времени. Радиус-вектор \( \vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k} \). В данном случае \( z(t)=0 \).

Найдем производные компонент координат по времени:

• \( v_x(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(a\cos(\omega t)) = -a\omega\sin(\omega t) \)
• \( v_y(t) = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(a\sin(\omega t)) = a\omega\cos(\omega t) \)
• \( v_z(t) = \frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt}(0) = 0 \)

Таким образом, вектор скорости:

\( \vec{v}(t) = v_x(t)\vec{i} + v_y(t)\vec{j} + v_z(t)\vec{k} = -a\omega\sin(\omega t)\vec{i} + a\omega\cos(\omega t)\vec{j} \)

Сравнивая полученное выражение с предложенными вариантами, видим, что оно соответствует варианту 5 (с учетом того, что множитель \( \omega \) может быть вписан внутрь скобок или перед ними, и в варианте 4 и 5 используется \( \omega \) как множитель).

Перепишем вариант 5: \( \vec{v}(t) = a\omega(-\sin(\omega t)\vec{i} + \cos(\omega t)\vec{j}) \), что совпадает с нашим результатом.

Ответ: 5