Запишите обоснованное решение задач 3-5.

Обоснованное решение задач:

3. Луч SC является биссектрисой угла ASB, а отрезки SA и SB равны. Докажите, что ∠SAC = ∠SBC.

Решение:

Рассмотрим треугольники SAC и SBC. У них:

• SA = SB (по условию).
• ∠SAC = ∠SBC (так как SC - биссектриса угла ASB).
• SC - общая сторона.

Следовательно, треугольники SAC и SBC равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что ∠SAC = ∠SBC.

Ответ: Доказано, что ∠SAC = ∠SBC.

4. В окружности с центром О проведены хорды DE и РК, причем ∠DOE = ∠РОК. Докажите, что эти хорды равны.

Решение:

Рассмотрим треугольники DOE и POK. У них:

• DO = OE = PO = OK (как радиусы окружности).
• ∠DOE = ∠POK (по условию).

Следовательно, треугольники DOE и POK равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что DE = PK.

Ответ: Доказано, что хорды DE и РК равны.

5. Точка D лежит внутри треугольника PRS. Найдите ∠RDS, если RS = PS, DP = DR, ∠RDP = 100°.

Решение:

Так как RS = PS, то треугольник PRS - равнобедренный. Следовательно, ∠SRP = ∠SPR.

Так как DP = DR, то треугольник DPR - равнобедренный. Следовательно, ∠DPR = ∠DRP.

Сумма углов треугольника DPR равна 180°. Значит, ∠DPR + ∠DRP + ∠RDP = 180°.

Так как ∠RDP = 100°, то ∠DPR + ∠DRP = 180° - 100° = 80°.

Так как ∠DPR = ∠DRP, то ∠DPR = ∠DRP = 80° / 2 = 40°.

Так как D лежит внутри треугольника PRS, то ∠SPR = ∠DPR + ∠DPS и ∠SRP = ∠DRP + ∠DRS.

Так как ∠SPR = ∠SRP, то ∠DPR + ∠DPS = ∠DRP + ∠DRS.

Так как ∠DPR = ∠DRP = 40°, то ∠DPS = ∠DRS.

Сумма углов треугольника RDS равна 180°. Значит, ∠DRS + ∠DSR + ∠RDS = 180°.

Сумма углов треугольника DPS равна 180°. Значит, ∠DPS + ∠DSP + ∠PDS = 180°.

Так как ∠DPS = ∠DRS и ∠DSP = ∠DSR, то ∠RDS = ∠PDS.

Рассмотрим четырёхугольник RDPS. Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

Получается: ∠PRS + ∠RDP + ∠DSP + ∠DRS = 360°.

Так как ∠RDP = 100°, ∠SPR = ∠DRP + ∠DPS и ∠SRP = ∠DRP + ∠DRS, ∠SPR + ∠SRP = (180°-100°)/2 = 80°/2 = 40°.

Следовательно, ∠PRS = (180° - ∠SPR - ∠SRP) = 180 - 40 = 140°.

Тогда 140° + 100° + ∠DSP + ∠DRS = 360°.

∠DSP + ∠DRS = 360° - 240° = 120°.

∠DSP = ∠DRS = 120°/2 = 60°.

Следовательно, ∠RDS = 180° - 60° - 40° = 80°.

Ответ: ∠RDS = 80°