Запиши доказательство тождества: \(\dfrac{4x^2+8}{11x^8y^4}\cdot\dfrac{22x^6y}{5x^2+10}=\dfrac{24x^5y^{10}}{(x+0,5)^2}:\dfrac{15x^7y^{13}}{x^2+x+0,25}\).

Область допустимых значений исходного выражения: \(x\ne 0\), \(y\ne 0\), \(x\ne -0.5\).

Преобразуем левую часть, разложив многочлены на множители:

\[\frac{4x^2+8}{11x^8y^4}\cdot\frac{22x^6y}{5x^2+10}=\frac{4(x^2+2)}{11x^8y^4}\cdot\frac{22x^6y}{5(x^2+2)}=\frac{8}{5x^2y^3}.\]

Преобразуем правую часть. Деление на дробь заменим умножением на обратную дробь, а трёхчлен разложим на квадрат двучлена:

\[\frac{24x^5y^{10}}{(x+0.5)^2}:\frac{15x^7y^{13}}{x^2+x+0.25}=\frac{24x^5y^{10}}{(x+0.5)^2}\cdot\frac{(x+0.5)^2}{15x^7y^{13}}=\frac{8}{5x^2y^3}.\]

Левая и правая части равны одному и тому же выражению при допустимых значениях переменных.

Ответ: тождество доказано.