Записать уравнение плоскости с заданным вектором нормали \( \vec{n} = \{2; 3; 1\} \), проходящей через точку \( M(1; 1; -1) \).

Решение:

Уравнение плоскости, проходящей через точку \( M(x_0, y_0, z_0) \) с нормальным вектором \( \vec{n} = \{a, b, c\} \), имеет вид:

\[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \]

В данном случае:

• Точка \( M(x_0, y_0, z_0) = (1; 1; -1) \)
• Нормальный вектор \( \vec{n} = \{a, b, c\} = \{2, 3, 1\} \)

Подставляем значения в формулу:

\[ 2(x - 1) + 3(y - 1) + 1(z - (-1)) = 0 \]

Раскрываем скобки:

\[ 2x - 2 + 3y - 3 + z + 1 = 0 \]

Приводим подобные слагаемые:

\[ 2x + 3y + z - 4 = 0 \]

Таким образом, уравнение плоскости:

\[ 2x + 3y + z = 4 \]

Ответ: 2x + 3y + z = 4.