Задумали трёхзначное число, которое делится на 21 и последняя цифра которого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 400. Какое число было задумано?

Решение:

Обозначим трёхзначное число как \( abc \), где \( a \) — первая цифра, \( b \) — вторая, \( c \) — третья. Число можно записать как \( 100a + 10b + c \).

По условию, число делится на 21. Также сказано, что последняя цифра в 4 раза меньше первой, то есть \( c = \frac{a}{4} \). Так как \( a \) и \( c \) — цифры, то \( a \) может быть только 4 или 8 (чтобы \( c \) было целым числом).

Случай 1: \( a = 4 \)

Тогда \( c = \frac{4}{4} = 1 \). Число имеет вид \( 4b1 \). Оно делится на 21. Переберём возможные значения \( b \) от 0 до 9.

• 401: не делится на 21.
• 411: не делится на 21.
• 421: не делится на 21.
• 431: не делится на 21.
• 441: \( 441 : 21 = 21 \). Это возможное число.
• 451: не делится на 21.
• 461: не делится на 21.
• 471: \( 471 : 21 = 22.4 \) (не делится).
• 481: не делится на 21.
• 491: не делится на 21.

Если число 441, то обратное число 144. Разность: \( 441 - 144 = 297 \). Это меньше 400, значит, это не наш случай.

Случай 2: \( a = 8 \)

Тогда \( c = \frac{8}{4} = 2 \). Число имеет вид \( 8b2 \). Оно делится на 21.

• 802: не делится на 21.
• 812: не делится на 21.
• 822: \( 822 : 21 = 39.14 \) (не делится).
• 832: не делится на 21.
• 842: не делится на 21.
• 852: \( 852 : 21 = 40.57 \) (не делится).
• 862: не делится на 21.
• 872: не делится на 21.
• 882: \( 882 : 21 = 42 \). Это возможное число.
• 892: не делится на 21.

Если число 882, то обратное число 288. Разность: \( 882 - 288 = 594 \). Это больше 400. Это наш случай.

Проверим другие числа, кратные 21, с \( a=8, c=2 \).

Число \( 8b2 \) должно делиться на 3 и на 7.

Делимость на 3: сумма цифр \( 8 + b + 2 = 10 + b \) должна делиться на 3. \( b \) может быть 2, 5, 8.

• Если \( b = 2 \), число 822. \( 822 : 7 = 117.4 \) (не делится).
• Если \( b = 5 \), число 852. \( 852 : 7 = 121.7 \) (не делится).
• Если \( b = 8 \), число 882. \( 882 : 7 = 126 \). Число 882 делится на 21.

Итак, задуманное число — 882.

Обратное число — 288.

Разность: \( 882 - 288 = 594 \). \( 594 > 400 \).

Условие выполнено.

Ответ: 882