Задумали трёхзначное число, которое делится на 7 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 792. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число имеет вид $$100a + 10b + c$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ - цифры, причём $$c
e 0$$. Тогда число, записанное в обратном порядке, будет иметь вид $$100c + 10b + a$$. По условию, разность между задуманным числом и числом, записанным в обратном порядке, равна 792, то есть:

$$ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 792 $$

$$ 99a - 99c = 792 $$

$$ 99(a - c) = 792 $$

$$ a - c = 8 $$

Так как $$a$$ и $$c$$ - цифры, то $$a = 9$$, $$c = 1$$. Таким образом, задуманное число имеет вид $$900 + 10b + 1$$, или $$901 + 10b$$. Это число делится на 7, то есть $$901 + 10b \equiv 0 \pmod{7}$$. Учитывая, что $$901 = 7 \cdot 128 + 5$$, получаем

$$ 5 + 10b \equiv 0 \pmod{7} $$

$$ 10b \equiv -5 \pmod{7} $$

$$ 10b \equiv 2 \pmod{7} $$

$$ 30b \equiv 6 \pmod{7} $$

$$ 2b \equiv 6 \pmod{7} $$

$$ b \equiv 3 \pmod{7} $$

Значит, $$b = 3$$. Тогда задуманное число равно $$931$$.

Проверим: $$931 : 7 = 133$$. $$931 - 139 = 792$$.

Ответ: 931