Задумали нечётное трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 17. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 198. Какое число было задумано?

Решение:

Пусть задуманное трёхзначное число — \( \overline{abc} \), где \( a \) — число сотен, \( b \) — число десятков, \( c \) — число единиц. Тогда число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет \( \overline{cba} \).

По условию задачи известно:

1. Число нечётное, значит \( c \) — нечётная цифра (1, 3, 5, 7, 9).
2. Число трёхзначное, значит \( a \) ≠ 0.
3. Число меньше 500, значит \( a < 5 \).
4. Число делится на 17.
5. \( \overline{abc} - \overline{cba} = 198 \).

Распишем разность чисел:

\( 100a + 10b + c - (100c + 10b + a) = 198 \)

\( 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 198 \)

\( 99a - 99c = 198 \)

\( 99(a - c) = 198 \)

\( a - c = \frac{198}{99} \)

\( a - c = 2 \)

Из этого уравнения следует, что \( a = c + 2 \).

Учитываем условия:

• \( a < 5 \) и \( a \) ≠ 0
• \( c \) — нечётная цифра (1, 3, 5, 7, 9)

Подбираем возможные пары \( (a, c) \) из условия \( a = c + 2 \) и \( c \) — нечётная:

• Если \( c = 1 \), то \( a = 1 + 2 = 3 \). Число может начинаться на 3, оканчиваться на 1. \( a = 3 \) < 5, \( c = 1 \) — нечётная. Подходит.
• Если \( c = 3 \), то \( a = 3 + 2 = 5 \). Но \( a < 5 \), поэтому этот вариант не подходит.
• Если \( c = 5 \), то \( a = 5 + 2 = 7 \). \( a = 7 \) > 5, не подходит.
• Если \( c = 7 \), то \( a = 7 + 2 = 9 \). \( a = 9 \) > 5, не подходит.
• Если \( c = 9 \), то \( a = 9 + 2 = 11 \). \( a \) не может быть двузначным числом.

Единственная возможная пара \( (a, c) \) — это \( a = 3 \) и \( c = 1 \). Таким образом, число имеет вид \( \overline{3b1} \).

Теперь проверим условие, что число делится на 17.

Возможные числа: 301, 311, 321, 331, 341, 351, 361, 371, 381, 391.

Проверим делимость на 17:

• 301 / 17 = 17 (остаток 12)
• 311 / 17 = 18 (остаток 5)
• 321 / 17 = 18 (остаток 15)
• 331 / 17 = 19 (остаток 8)
• 341 / 17 = 20 (остаток 1)
• 351 / 17 = 20 (остаток 11)
• 361 / 17 = 21 (остаток 4)
• 371 / 17 = 21 (остаток 14)
• 381 / 17 = 22 (остаток 7)
• 391 / 17 = 23 (остаток 0)

Число 391 делится на 17 без остатка.

Проверим само условие: \( 391 - 193 = 198 \). Это верно.

Ответ: 391.