Задумали нечётное трёхзначное число, которое делится на 9. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 693. Какое число было задумано?

Решение:

Пусть трехзначное число имеет вид $$100a + 10b + c$$, где a, b, c - цифры, причем c - нечетная. Число делится на 9, значит, сумма его цифр $$a + b + c$$ делится на 9.

Вычитаем число, записанное в обратном порядке: $$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 693$$.

Упрощаем выражение: $$99a - 99c = 693$$

Делим обе части на 99: $$a - c = 7$$

Так как c - нечетная цифра, то она может быть 1, 3, 5, 7, 9.

Тогда a может быть:

• если $$c = 1$$, то $$a = 8$$
• если $$c = 3$$, то $$a = 10$$, что невозможно, так как a - цифра.

Итак, $$a = 8$$, $$c = 1$$.

Теперь мы знаем, что наше число имеет вид $$8b1$$. Сумма цифр $$8 + b + 1 = 9 + b$$ должна делиться на 9.

Следовательно, b может быть 0 или 9. Проверим оба варианта:

• Если $$b = 0$$, то число 801. Проверяем: $$801 - 108 = 693$$.
• Если $$b = 9$$, то число 891. Проверяем: $$891 - 198 = 693$$.

Таким образом, возможны два числа: 801 и 891. Оба числа нечетные и делятся на 9.

Ответ:

Число 801:

• Сумма цифр: $$8 + 0 + 1 = 9$$ (делится на 9)
• $$801 - 108 = 693$$

Число 891:

• Сумма цифр: $$8 + 9 + 1 = 18$$ (делится на 9)
• $$891 - 198 = 693$$

Ответ: 801 или 891