Задумали двузначное число, которое делится на 15. Когда к этому числу справа приписали его последнюю цифру, получилось трёхзначное число, которое делится на 9. Какое число задумали?

Пусть задуманное двузначное число равно 10a + b, где a - первая цифра, b - вторая цифра. Число делится на 15, значит, оно делится на 3 и на 5. Следовательно, b = 0 или b = 5. Если b = 0, то число 10a. Сумма цифр 10a + 0 = 10a. Для делимости на 3, 10a должно делиться на 3, что возможно, если a делится на 3. Возможные числа: 30, 60, 90. Если b = 5, то число 10a + 5. Сумма цифр 10a + 5. Для делимости на 3, 10a + 5 должно делиться на 3. Возможные числа: 15, 45, 75.
Получилось трёхзначное число: 100a + 10b + b = 100a + 11b. Это число делится на 9.
Проверяем варианты:
Если число 30, то трёхзначное 300. 3+0+0=3 (не делится на 9).
Если число 60, то трёхзначное 600. 6+0+0=6 (не делится на 9).
Если число 90, то трёхзначное 900. 9+0+0=9 (делится на 9).
Если число 15, то трёхзначное 155. 1+5+5=11 (не делится на 9).
Если число 45, то трёхзначное 455. 4+5+5=14 (не делится на 9).
Если число 75, то трёхзначное 755. 7+5+5=17 (не делится на 9).
Единственное число, удовлетворяющее условиям, это 90.