Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 255. Какое число задумали? Напишите свое решение.

Решение:

Пусть задуманное двузначное число состоит из цифр \( a \) (десятки) и \( b \) (единицы). Число можно записать как \( 10a + b \).

Произведение цифр числа равно \( a \cdot b \).

По условию задачи, когда число умножили на произведение его цифр, получили 255:

\( (10a + b) \cdot (a \cdot b) = 255 \)

Разложим число 255 на множители:

\( 255 = 1 \cdot 255 = 3 \cdot 85 = 5 \cdot 51 = 15 \cdot 17 \)

Переберём возможные варианты пар цифр \( a \) и \( b \) (где \( a \) и \( b \) — цифры от 1 до 9, так как число двузначное и произведение цифр не равно нулю):

• Если \( a \cdot b = 15 \), то возможные пары \( (a, b) \) — \( (3, 5) \) или \( (5, 3) \).
• Если \( a = 3 \) и \( b = 5 \), то число равно \( 35 \). Произведение цифр \( 3 \cdot 5 = 15 \). \( 35 \cdot 15 = 525 \) (не подходит).
• Если \( a = 5 \) и \( b = 3 \), то число равно \( 53 \). Произведение цифр \( 5 \cdot 3 = 15 \). \( 53 \cdot 15 = 795 \) (не подходит).
• Если \( a \cdot b = 17 \), то таких пар цифр не существует, так как 17 — простое число.

Рассмотрим другие множители 255.

Заметим, что само число \( 10a + b \) должно быть делителем 255. Возможные двузначные делители 255:

• 15: Если число равно 15, то \( a=1, b=5 \). Произведение цифр \( 1 \cdot 5 = 5 \). \( 15 \cdot 5 = 75 \) (не подходит).
• 17: Если число равно 17, то \( a=1, b=7 \). Произведение цифр \( 1 \cdot 7 = 7 \). \( 17 \cdot 7 = 119 \) (не подходит).
• 51: Если число равно 51, то \( a=5, b=1 \). Произведение цифр \( 5 \cdot 1 = 5 \). \( 51 \cdot 5 = 255 \) (подходит!).
• 85: Если число равно 85, то \( a=8, b=5 \). Произведение цифр \( 8 \cdot 5 = 40 \). \( 85 \cdot 40 = 3400 \) (не подходит).

Таким образом, единственное двузначное число, удовлетворяющее условию, — это 51.

Ответ: 51.