Задания №1 - №4: Известна одна из тригонометрических функций (sin a, cos a, tg a, ctga). По её значению, найдите остальные три. 1. cos a = 5/13 и 3π/2 < a < 2π 2. sin a = 0,8 и π/2 < a < π 3. tga = 15/8 и π < a < 3π/2 4. ctga = -12/5 и 3π/2 < a < 2π

Решение:

1. cos a = 5/13, 3π/2 < a < 2π (4-я четверть)

• Находим sin a:
• \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]
• \[ \sin^2 a = 1 - (5/13)^2 = 1 - 25/169 = 144/169 \]
• \[ \sin a = \pm \sqrt{144/169} = \pm 12/13 \]
• Так как a в 4-й четверти, sin a < 0. Следовательно, sin a = -12/13.
• Находим tg a:
• \[ \text{tg } a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-12/13}{5/13} = -12/5 \]
• Следовательно, tg a = -12/5.
• Находим ctga:
• \[ \text{ctg } a = \frac{1}{\text{tg } a} = \frac{1}{-12/5} = -5/12 \]
• Следовательно, ctga = -5/12.

2. sin a = 0,8 = 4/5, π/2 < a < π (2-я четверть)

• Находим cos a:
• \[ \cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - (4/5)^2 = 1 - 16/25 = 9/25 \]
• \[ \cos a = \pm \sqrt{9/25} = \pm 3/5 \]
• Так как a во 2-й четверти, cos a < 0. Следовательно, cos a = -3/5.
• Находим tg a:
• \[ \text{tg } a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{4/5}{-3/5} = -4/3 \]
• Следовательно, tg a = -4/3.
• Находим ctga:
• \[ \text{ctg } a = \frac{1}{\text{tg } a} = \frac{1}{-4/3} = -3/4 \]
• Следовательно, ctga = -3/4.

3. tga = 15/8, π < a < 3π/2 (3-я четверть)

• Находим ctga:
• \[ \text{ctg } a = \frac{1}{\text{tg } a} = \frac{1}{15/8} = 8/15 \]
• Следовательно, ctga = 8/15.
• Находим sin a и cos a:
• \[ 1 + \text{tg}^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} \]
• \[ 1 + (15/8)^2 = 1 + 225/64 = (64+225)/64 = 289/64 \]
• \[ \cos^2 a = 64/289 \]
• \[ \cos a = \pm \sqrt{64/289} = \pm 8/17 \]
• Так как a в 3-й четверти, cos a < 0. Следовательно, cos a = -8/17.
• \[ \sin a = \text{tg } a \cdot \cos a = (15/8) \cdot (-8/17) = -15/17 \]
• Следовательно, sin a = -15/17.

4. ctga = -12/5, 3π/2 < a < 2π (4-я четверть)

• Находим tga:
• \[ \text{tg } a = \frac{1}{\text{ctg } a} = \frac{1}{-12/5} = -5/12 \]
• Следовательно, tg a = -5/12.
• Находим sin a и cos a:
• \[ 1 + \text{ctg}^2 a = \frac{1}{\sin^2 a} \]
• \[ 1 + (-12/5)^2 = 1 + 144/25 = (25+144)/25 = 169/25 \]
• \[ \sin^2 a = 25/169 \]
• \[ \sin a = \pm \sqrt{25/169} = \pm 5/13 \]
• Так как a в 4-й четверти, sin a < 0. Следовательно, sin a = -5/13.
• \[ \cos a = \text{ctg } a \cdot \sin a = (-12/5) \cdot (-5/13) = 12/13 \]
• Следовательно, cos a = 12/13.

Финальный ответ:

1. sin a = -12/13, tg a = -12/5, ctg a = -5/12

2. cos a = -3/5, tg a = -4/3, ctg a = -3/4

3. sin a = -15/17, cos a = -8/17, ctg a = 8/15

4. sin a = -5/13, tg a = -5/12, cos a = 12/13