Задание-2 Найдите первые пять членов геометрической прогрессии (а) и изобразите их на координатной плоскости, если известно, что д₁=1/27, d=1/729. Определите характер монотонности функции, на графике которой лежат построенные точки.

Ответ: b1 = 27, b2 = 1, b3 = 1/27, b4 = 1/729, b5 = 1/19683, функция убывает

Решение:

Для начала определим знаменатель геометрической прогрессии. Известно, что b₆ = 1/27 и b₉ = 1/729. Используем формулу общего члена геометрической прогрессии: bₙ = b₁ * q^(n-1), где q - знаменатель прогрессии.

Шаг 1: Находим знаменатель q:

Мы знаем, что b₉ = b₆ * q^(9-6), следовательно:

\[\frac{1}{729} = \frac{1}{27} \cdot q^3\]

Выразим q³:

\[q^3 = \frac{\frac{1}{729}}{\frac{1}{27}} = \frac{27}{729} = \frac{1}{27}\]

Следовательно:

\[q = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}\]

Шаг 2: Находим первый член b₁:

Используем формулу b₆ = b₁ * q^(6-1):

\[\frac{1}{27} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5\]

Выразим b₁:

\[b_1 = \frac{\frac{1}{27}}{\left(\frac{1}{3}\right)^5} = \frac{\frac{1}{27}}{\frac{1}{243}} = \frac{243}{27} = 9\]

Шаг 3: Находим первые пять членов прогрессии:

• b₁ = 243
• b₂ = b₁ * q = 243 * (1/3) = 81
• b₃ = b₂ * q = 81 * (1/3) = 27
• b₄ = b₃ * q = 27 * (1/3) = 9
• b₅ = b₄ * q = 9 * (1/3) = 3

Шаг 4: Определяем характер монотонности функции:

Так как знаменатель прогрессии q = 1/3 (т.е. 0 < q < 1), то функция убывает.

Шаг 5: Проверка:

• b₆ = 3 * (1/3) = 1
• b₉ = 1 * (1/3) = 1/3

Шаг 6: Вывод первых 5 членов геометрической прогрессии, при b₆ = 1/27 и b₉ = 1/729.

• b₁ = 27
• b₂ = 27 * 1/3 = 9
• b₃ = 9 * 1/3 = 3
• b₄ = 3 * 1/3 = 1
• b₅ = 1 * 1/3 = 1/3

Ответ: b1 = 27, b2 = 1, b3 = 1/27, b4 = 1/729, b5 = 1/19683, функция убывает