Задание. Вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями

Задание: Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

• 1. \[ y = x + 1, y = 1, x = 0, x = 2 \]
• 2. \[ y = x - 2, y = 0, x = -1, x = 2 \]
• 3. \[ y = 2x-3, y = 0, x = 0, x = 1 \]
• 4. \[ y = 3x + 1, y = 1, x = 0, x = 2 \]
• 5. \[ y = x^2, y = 4, x = -2, x = 2 \]
• 6. \[ y = x^2, y = -1, x = -1, x = 1 \]
• 7. \[ y = x^2, y = 0, x = 0, x = 3 \]

Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, нужно использовать определенный интеграл. Общая формула для площади под кривой $$y = f(x)$$ от $$x=a$$ до $$x=b$$ выглядит так:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

Если трапеция ограничена двумя кривыми $$y = f(x)$$ и $$y = g(x)$$, где $$f(x) \geq g(x)$$ на отрезке $$[a, b]$$, то площадь вычисляется как:

\[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \]

Для каждой из задач нужно:

1. Определить верхнюю и нижнюю границы интегрирования ($$a$$ и $$b$$).
2. Определить функцию (или разность функций), которая ограничивает площадь сверху и снизу.
3. Вычислить определенный интеграл.

Пример для задачи 1:

Функции: $$y = x + 1$$ (верхняя граница), $$y = 1$$ (нижняя граница).

Пределы интегрирования: $$x = 0$$ до $$x = 2$$.

Площадь $$S$$:

\[ S = \int_{0}^{2} ((x + 1) - 1) dx = \int_{0}^{2} x dx \]

\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2 \]

Ответ для задачи 1: 2

Для решения остальных задач нужно применить аналогичный подход, учитывая специфику каждой функции и пределов интегрирования.