Задание 6 Вопрос: Упростите выражение \(\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + \cos 3x}\). Выберите один из 4 вариантов ответа: 1) tgx 2) tg2x 3) tg4x 4) tg3x

Пошаговое решение:

1. Преобразуем числитель, используя формулу суммы синусов: \[\sin x + \sin 3x = 2\sin\left(\frac{x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x-3x}{2}\right) = 2\sin(2x)\cos(-x) = 2\sin(2x)\cos(x).\]
2. Преобразуем знаменатель, используя формулу суммы косинусов: \[\cos x + \cos 3x = 2\cos\left(\frac{x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x-3x}{2}\right) = 2\cos(2x)\cos(-x) = 2\cos(2x)\cos(x).\]
3. Теперь упростим исходное выражение: \[\frac{\sin x + \sin 3x}{\cos x + \cos 3x} = \frac{2\sin(2x)\cos(x)}{2\cos(2x)\cos(x)}.\]
4. Сокращаем общие множители: \[\frac{2\sin(2x)\cos(x)}{2\cos(2x)\cos(x)} = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \tan(2x).\]

Ответ: tg2x