Задание В3. Объем конуса равен 256. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем конуса, отсекаемого от данного конуса проведенной плоскостью.

Решение:

Пусть \(V_{большого}\) — объём исходного конуса, а \(V_{малого}\) — объём отсечённого конуса.

Объём конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 h \), где \(R\) — радиус основания, \(h\) — высота.

По условию, \(V_{большого} = 256\).

Точка делит высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины. Это значит, что высота малого конуса \(h_{малого}\) составляет \( \frac{1}{3} \) высоты большого конуса \(h_{большого}\).

\( h_{малого} = \frac{1}{3} h_{большого} \)

Так как плоскость параллельна основанию, то отсечённый конус подобен исходному. Отношение радиусов оснований подобных конусов равно отношению их высот:

\( \frac{R_{малого}}{R_{большого}} = \frac{h_{малого}}{h_{большого}} = \frac{1}{3} \)

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:

\( \frac{V_{малого}}{V_{большого}} = \left( \frac{h_{малого}}{h_{большого}} \right)^3 \)

Подставим известные значения:

\( \frac{V_{малого}}{256} = \left( \frac{1}{3} \right)^3 \)

\( \frac{V_{малого}}{256} = \frac{1}{27} \)

Теперь найдём \(V_{малого}\):

\[ V_{малого} = 256 \cdot \frac{1}{27} = \frac{256}{27} \]

Вычислим приближенное значение:

\[ \frac{256}{27} \approx 9.48 \]

Ответ: объём отсечённого конуса равен \( \frac{256}{27} \) (приблизительно 9.48).