ЗАДАНИЕ №2 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 82, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 82, и острым углом 45°. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, а один из углов прямой (90°), то второй острый угол также равен 45° (180° - 90° - 45° = 45°). Следовательно, этот прямоугольный треугольник является равнобедренным.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. Обозначим длину катета как $$a$$. По теореме Пифагора: $$a^2 + a^2 = 82^2$$.
Упростим уравнение: $$2a^2 = 82^2$$.
Разделим обе части уравнения на 2: $$a^2 = \frac{82^2}{2} = \frac{6724}{2} = 3362$$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей: $$a = \sqrt{3362}$$.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a^2$$.
Подставим значение $$a^2$$: $$S = \frac{1}{2} \cdot 3362 = 1681$$.

Ответ: 1681.