Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
ЗАДАНИЕ №4 Периметр прямоугольника равен 46, а диагональ равна 17. Найдите площадь этого прямоугольника. ЗАДАНИЕ №5 В треугольнике $$ABC$$ отмечены середины $$M$$ и $$N$$ сторон $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Площадь четырёхугольника $$ABMN$$ равна 105. Найдите площадь треугольника $$CNM$$.
Ответ:
ЗАДАНИЕ №4
ЗАДАНИЕ №5
- Обозначим стороны прямоугольника как $$a$$ и $$b$$. Периметр прямоугольника равен $$2(a+b)$$, поэтому $$2(a+b) = 46$$, откуда $$a+b = 23$$.
- Диагональ прямоугольника равна 17. По теореме Пифагора, $$a^2 + b^2 = 17^2 = 289$$.
- Нам нужно найти площадь прямоугольника, которая равна $$S = a cdot b$$.
- Выразим $$(a+b)^2$$: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ Подставим известные значения: $$23^2 = 289 + 2ab$$ $$529 = 289 + 2ab$$ $$2ab = 529 - 289 = 240$$ $$ab = 120$$
- Таким образом, площадь прямоугольника равна 120.
ЗАДАНИЕ №5
- Так как $$M$$ и $$N$$ - середины сторон $$BC$$ и $$AC$$ соответственно, то $$CM = rac{1}{2}BC$$ и $$CN = rac{1}{2}AC$$.
- Площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить как $$S_{ABC} = S_{ABMN} + S_{CNM}$$.
- Треугольники $$CNM$$ и $$ABC$$ подобны с коэффициентом подобия $$k = rac{CN}{CA} = rac{CM}{CB} = rac{1}{2}$$.
- Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: $$ rac{S_{CNM}}{S_{ABC}} = k^2 = ( rac{1}{2})^2 = rac{1}{4}$$. Значит, $$S_{CNM} = rac{1}{4}S_{ABC}$$.
- Выразим площадь треугольника $$ABC$$ через $$S_{ABMN}$$ и $$S_{CNM}$$: $$S_{ABC} = S_{ABMN} + S_{CNM}$$.
- Подставим $$S_{CNM} = rac{1}{4}S_{ABC}$$ в уравнение: $$S_{ABC} = 105 + rac{1}{4}S_{ABC}$$.
- Умножим обе части уравнения на 4: $$4S_{ABC} = 420 + S_{ABC}$$.
- Вычтем $$S_{ABC}$$ из обеих частей: $$3S_{ABC} = 420$$.
- Разделим обе части на 3: $$S_{ABC} = rac{420}{3} = 140$$.
- Теперь найдем площадь треугольника $$CNM$$: $$S_{CNM} = rac{1}{4}S_{ABC} = rac{1}{4} cdot 140 = 35$$.
