ЗАДАНИЕ №7 На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки МиN соответственно. Известно, что AM : MB = 3 : 4 и AN : NC = 3 : 2. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника AMN равна 18.

Решение: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. В данном случае треугольники AMN и ABC подобны, так как угол A у них общий, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны. Обозначим площадь треугольника ABC как S. Дано: $${AM \div MB = 3 \div 4}$$, следовательно, $${AM \div AB = 3 \div (3+4) = 3 \div 7}$$. $${AN \div NC = 3 \div 2}$$, следовательно, $${AN \div AC = 3 \div (3+2) = 3 \div 5}$$. Площадь треугольника AMN равна 18. Площадь треугольника AMN можно выразить как: $${S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot sin A}$$ Площадь треугольника ABC: $${S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin A}$$ Тогда отношение площадей: $$\frac{S_{AMN}}{S} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot sin A}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin A} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{35}$$ Таким образом: $$\frac{18}{S} = \frac{9}{35}$$ $$S = \frac{18 \cdot 35}{9} = 2 \cdot 35 = 70$$ Ответ: Площадь треугольника ABC равна 70.