Задание 5. На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий А и В в некотором случайном опыте. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. 1. Найдите вероятность события А. 2. Найдите вероятность события В. 3. Найдите вероятность события А B. 4. Найдите вероятность события АОВ. 5. Найдите вероятность события АОВ. 6. Найдите вероятность события АОВ. 7. Найдите вероятность события АОВ. 8. Найдите вероятность события АВ. 9. Найдите вероятность события АОВ. 10. Найдите вероятность события АB.

Ответ:

Решаем по порядку:

1. Вероятность события A:

   Считаем количество точек в круге A: 6

   Считаем общее количество точек: 15

   Вероятность P(A) = 6/15 = 2/5 = 0.4

2. Вероятность события B:

   Считаем количество точек в круге B: 8

   Считаем общее количество точек: 15

   Вероятность P(B) = 8/15 ≈ 0.533

3. Вероятность события A ∩ B (пересечение):

   Считаем количество точек в пересечении A и B: 2

   Общее количество точек: 15

   Вероятность P(A ∩ B) = 2/15 ≈ 0.133

4. Вероятность события A ∪ B (объединение):

   Считаем количество точек в A или B: 6 + 8 - 2 = 12

   Общее количество точек: 15

   Вероятность P(A ∪ B) = 12/15 = 4/5 = 0.8

5. Вероятность события Ā ∩ B:

   Считаем количество точек в B, но не в A: 8 - 2 = 6

   Общее количество точек: 15

   Вероятность P(Ā ∩ B) = 6/15 = 2/5 = 0.4

6. Вероятность события A ∩ B̄:

   Считаем количество точек в A, но не в B: 6 - 2 = 4

   Общее количество точек: 15

   Вероятность P(A ∩ B̄) = 4/15 ≈ 0.267

7. Вероятность события Ā ∪ B:

   Считаем количество точек не в A или в B: (15 - 6) + 8 - (8 - 2) = 9 + 2 = 11

   Другой способ: P(Ā ∪ B) = P(Ā) + P(B) - P(Ā ∩ B) = (1 - 6/15) + 8/15 - 6/15 = 9/15 + 2/15 = 11/15

   Вероятность P(Ā ∪ B) = 13/15 ≈ 0.867

8. Вероятность события A ∪ B̄:

   Считаем количество точек в A или не в B: 6 + (15 - 8) - (6 - 2) = 6 + 7 - 4 = 9

   Другой способ: P(A ∪ B̄) = P(A) + P(B̄) - P(A ∩ B̄) = 6/15 + (1 - 8/15) - 4/15 = 6/15 + 7/15 - 4/15 = 9/15

   Вероятность P(A ∪ B̄) = 9/15 = 3/5 = 0.6

9. Вероятность события Ā ∩ B̄:

   Считаем количество точек не в A и не в B: 15 - 6 - (8 - 2) = 15 - 6 - 6 = 3

   Общее количество точек: 15

   Вероятность P(Ā ∩ B̄) = 3/15 = 1/5 = 0.2

10. Вероятность события Ā ∪ B̄:

    Считаем количество точек не в A или не в B: (15 - 6) + (15 - 8) - 3 = 9 + 7 = 13

    Другой способ: P(Ā ∪ B̄) = P(Ā) + P(B̄) - P(Ā ∩ B̄) = 9/15 + 7/15 - 3/15 = 13/15

    Вероятность P(Ā ∪ B̄) = 13/15 ≈ 0.867

Ответ:

1. P(A) = 0.4
2. P(B) ≈ 0.533
3. P(A ∩ B) ≈ 0.133
4. P(A ∪ B) = 0.8
5. P(Ā ∩ B) = 0.4
6. P(A ∩ B̄) ≈ 0.267
7. P(Ā ∪ B) ≈ 0.867
8. P(A ∪ B̄) = 0.6
9. P(Ā ∩ B̄) = 0.2
10. P(Ā ∪ B̄) ≈ 0.867