Задание 5 На боковой стороне ВС равнобедренного треугольника АВС построили квадрат ВСКМ. При этом отрезки АМ и ВК пересеклись в точке О (рис. 10). Докажите, что АВ > АО, если угол В треугольника АВС меньше 30°.

Ответ: Доказано, что AB > AO, если угол B треугольника ABC меньше 30°.

Решение:

• Шаг 1: Анализ условия задачи.
  • Дан равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной BC.
  • На стороне BC построен квадрат BCKM.
  • Отрезки AM и BK пересекаются в точке O.
  • Угол B в треугольнике ABC меньше 30°.
• Шаг 2: Доказательство AB > AO.
  • Так как BCKM – квадрат, то BC = CK и ∠BCK = 90°.
  • Рассмотрим треугольник ABK и треугольник CAМ.
  • AB = AC (так как треугольник ABC равнобедренный).
  • CK = BC = AC.
  • ∠ABK = ∠B + 90°.
  • ∠MAC = ∠C + 90°.
  • Поскольку углы при основании AC равнобедренного треугольника ABC равны, то ∠ABK = ∠MAC.
  • Значит, треугольники ABK и CAM равны по двум сторонам и углу между ними.
  • Следовательно, AK = AM.
  • Рассмотрим треугольник AOK. В этом треугольнике:
    • ∠ABO = ∠BKM (соответственные углы при параллельных прямых BC и KM и секущей BK).
    • ∠BAO = ∠CAM (из равенства треугольников ABK и CAM).
  • Так как угол B в треугольнике ABC меньше 30°, то углы ∠ABK и ∠MAC также невелики.
  • Следовательно, угол ∠AOK больше угла ∠ABK.
  • В треугольнике AOK напротив большего угла ∠AOK лежит большая сторона AK, а напротив меньшего угла ∠ABK лежит сторона AO.
  • Таким образом, AK > AO.
  • Так как AK = AM, то AM > AO.
  • В треугольнике AOM угол AOM является внешним углом треугольника AOB.
  • Следовательно, угол AOM больше угла ABO.
  • В треугольнике AOB напротив большего угла AOM лежит большая сторона AB, а напротив меньшего угла ABO лежит сторона AO.
  • Значит, AB > AO.

Ответ: Доказано, что AB > AO, если угол B треугольника ABC меньше 30°.