ЗАДАНИЕ №3 Даны две прямые. На одной прямой выбраны точки А, В, С, а на другой – точки А1, В1 и С1 таким образом, что AA1 || BB1 || СС1 и точка В лежит между точками А и С. Прямая DF пересекает прямые АА1, ВВ1 и СС1 в точках D, Е и F соответственно. Найдите АВ : ВС, если А1C1 = 20, DE = 6 и EF : B1C1 = 6 : 5. AB : BC = : .

Обозначим (B_1C_1 = x). Тогда, согласно условию, $$EF = \frac{6}{5}x$$.

Так как (A_1B_1 + B_1C_1 = A_1C_1), то (A_1B_1 = 20 - x).

По теореме Фалеса, если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки на одной стороне угла пропорциональны отрезкам на другой стороне угла, то есть

$$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$$

Из условия (DE = 6) и (EF : B_1C_1 = 6 : 5) следует, что $$EF = \frac{6}{5}B_1C_1 = \frac{6}{5}x$$

Тогда $$6 : \frac{6}{5}x = (20 - x) : x$$

$$\frac{6}{\frac{6}{5}x} = \frac{20-x}{x}$$.

$$\frac{5}{x} = \frac{20-x}{x}$$

$$5x = (20 - x)x$$

$$5 = 20 - x$$

$$x = 15$$

Тогда $$A_1B_1 = 20 - 15 = 5$$ и $$B_1C_1 = 15$$

$$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$

Следовательно, $$AB : BC = 1 : 3$$

Ответ: 1 : 3