Задание 9. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Точка $M$ — середина стороны $BC$. Прямая $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $N$. Найдите длину диагонали $BD$, если $BN=7$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 9. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Точка $M$ — середина стороны $BC$. Прямая…$ Фото задания

Задание 9. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Точка $M$ — середина стороны $BC$. Прямая $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $N$. Найдите длину диагонали $BD$, если $BN=7$.

Accepted Answer

Обозначим точку пересечения прямых координатами: пусть $A=(0,0)$, $B=\mathbf b$, $D=\mathbf d$. Тогда в параллелограмме $C=\mathbf b+\mathbf d$.

Поскольку $M$ — середина $BC$, получаем $M=\mathbf b+\frac12\mathbf d$. Точка на прямой $AM$ имеет вид $t(\mathbf b+\frac12\mathbf d)$, а точка на диагонали $BD$ имеет вид $(1-s)\mathbf b+s\mathbf d$. В точке пересечения коэффициенты при $\mathbf b$ и $\mathbf d$ равны:

$t=1-s$, $\frac{t}{2}=s$. Поэтому $t=\frac23$, $s=\frac13$. Следовательно, $BN=\frac13BD$.

Подставим $BN=7$: $BD=3\cdot7=21$.

Ответ: 21.