Задание 8.3. а) Решите уравнение 4cos²x-8sinx+1=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π; -3π/2].

Решение:

а) Решим уравнение:

Заменим \( \cos^2x \) на \( 1 - \sin^2x \):

\[ 4(1 - \sin^2x) - 8\sin x + 1 = 0 \]

\[ 4 - 4\sin^2x - 8\sin x + 1 = 0 \]

\[ -4\sin^2x - 8\sin x + 5 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 4\sin^2x + 8\sin x - 5 = 0 \]

Пусть \( y = \sin x \). Тогда:

\[ 4y^2 + 8y - 5 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 \]

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 + 12}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

\[ y_2 = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 - 12}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} \]

Возвращаемся к замене \( y = \sin x \):

\( \sin x = -\frac{5}{2} \) — решений нет, так как \( -\frac{5}{2} < -1 \).

\( \sin x = \frac{1}{2} \)

Общее решение: \( x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

\( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \)

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [-3π; -3π/2].

Отрезок \( [-3\pi; -\frac{3\pi}{2}] \) соответствует \( [-9.42; -4.71] \).

Рассмотрим два случая:

1. \( n \) — чётное, \( n = 2k \), \( k \in \mathbb{Z} \):

\[ x = (-1)^{2k} \frac{\pi}{6} + \pi (2k) = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \]

Подставим значения \( k \):

При \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} \). \( -\frac{11\pi}{6} \approx -5.76 \). Это значение входит в отрезок.

При \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6} \) — не входит.

2. \( n \) — нечётное, \( n = 2k + 1 \), \( k \in \mathbb{Z} \):

\[ x = (-1)^{2k+1} \frac{\pi}{6} + \pi (2k + 1) = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k + \pi = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \]

Подставим значения \( k \):

При \( k = -1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} \) — не входит.

При \( k = -2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6} \) — не входит.

При \( k = -3 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 6\pi = -\frac{31\pi}{6} \) — не входит.

Ответ: а) \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \); б) \( -\frac{11\pi}{6} \).