Задание 7. Арифметическая прогрессия Условие: Дана арифметическая прогрессия: 3, 7, 11, 15, ... Вопросы: Найдите разность прогрессии. Найдите 10-й член прогрессии. Найдите сумму первых 10 членов прогрессии.

Решение:

Дана арифметическая прогрессия: \( 3, 7, 11, 15, \dots \)

• 1. Найдите разность прогрессии.

Разность арифметической прогрессии \( d \) находится как разность между любым членом прогрессии и предыдущим членом. Возьмем первые два члена:

\( d = a_2 - a_1 = 7 - 3 = 4 \)

Проверим на следующих членах:

\( 11 - 7 = 4 \)

\( 15 - 11 = 4 \)

Разность прогрессии равна 4.

• 2. Найдите 10-й член прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \), где \( a_1 \) — первый член, \( n \) — номер члена, \( d \) — разность прогрессии.

В данном случае \( a_1 = 3 \), \( n = 10 \), \( d = 4 \).

\( a_{10} = 3 + (10-1) \cdot 4 = 3 + 9 \cdot 4 = 3 + 36 = 39 \)

• 3. Найдите сумму первых 10 членов прогрессии.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \)

Или, подставив \( a_n = a_1 + (n-1)d \):

\( S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \)

Используем первую формулу, так как мы уже нашли \( a_{10} = 39 \):

\( S_{10} = \frac{3 + 39}{2} \cdot 10 = \frac{42}{2} \cdot 10 = 21 \cdot 10 = 210 \)

Ответ: Разность прогрессии равна 4. 10-й член прогрессии равен 39. Сумма первых 10 членов прогрессии равна 210.