Задание №5. Решите уравнение: a) cos(x + π/3) cos(x - π/3) - 0,25 = 0;

Решение:

Данное уравнение:

\( \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) - 0,25 = 0 \)

Воспользуемся формулой произведения косинусов: \( \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)] \).

В нашем случае \( A = x + \frac{\pi}{3} \) и \( B = x - \frac{\pi}{3} \).

\( A - B = \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \left(x - \frac{\pi}{3}\right) = x + \frac{\pi}{3} - x + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).

\( A + B = \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \left(x - \frac{\pi}{3}\right) = x + \frac{\pi}{3} + x - \frac{\pi}{3} = 2x \).

Подставляем в формулу:

\( \frac{1}{2} \left[\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \cos(2x)\right] - 0,25 = 0 \)

Значение \( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \).

\( \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} + \cos(2x)\right] - 0,25 = 0 \)

Раскроем скобки:

\( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(2x) - 0,25 = 0 \)

\( -0,25 + \frac{1}{2}\cos(2x) - 0,25 = 0 \)

\( \frac{1}{2}\cos(2x) - 0,5 = 0 \)

\( \frac{1}{2}\cos(2x) = 0,5 \)

\( \cos(2x) = 1 \)

Это означает, что \( 2x \) должно быть равно \( 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

\( 2x = 2\pi k \)

Разделим обе части на 2:

\( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: x = \(\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).