Задание 5. Разложи на множители многочлены: Используй вынесение общего множителя за скобки и формулы сокращённого умножения: 5.а 3n² - 12m² = 5.6 5x² - 30xy + 45y² =

Решение:

5.а

Для разложения многочлена \( 3n^2 - 12m^2 \) на множители, вынесем общий множитель \( 3 \):

\[ 3n^2 - 12m^2 = 3(n^2 - 4m^2) \]

Заметим, что выражение в скобках \( n^2 - 4m^2 \) является разностью квадратов, так как \( n^2 = (n)^2 \) и \( 4m^2 = (2m)^2 \). Разность квадратов раскладывается по формуле \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

В нашем случае \( a = n \) и \( b = 2m \).

Следовательно, \( n^2 - 4m^2 = (n - 2m)(n + 2m) \).

Подставляем это обратно в выражение:

\[ 3(n^2 - 4m^2) = 3(n - 2m)(n + 2m) \]

5.6

Для разложения многочлена \( 5x^2 - 30xy + 45y^2 \) на множители, вынесем общий числовой множитель \( 5 \):

\[ 5x^2 - 30xy + 45y^2 = 5(x^2 - 6xy + 9y^2) \]

Выражение в скобках \( x^2 - 6xy + 9y^2 \) напоминает формулу квадрата разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

Проверим:

\( a^2 = x^2 \Rightarrow a = x \)

\( b^2 = 9y^2 \Rightarrow b = 3y \)

\( 2ab = 2 · x · 3y = 6xy \)

Действительно, \( x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2 \).

Подставляем это обратно в выражение:

\[ 5(x^2 - 6xy + 9y^2) = 5(x - 3y)^2 \]

Ответ: 5.а: \( 3(n - 2m)(n + 2m) \); 5.6: \( 5(x - 3y)^2 \).