Задание № 5. При каких значениях переменной значение выражения \(\frac{x-1}{x-3}-1\) не больше значения выражения \(\frac{1}{x-2}\)?

Область допустимых значений: \(x\ne 2\), \(x\ne 3\).

Преобразуем левую часть и перенесём всё в одну сторону:

\[\frac{x-1}{x-3}-1\leq\frac{1}{x-2}\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{2}{x-3}-\frac{1}{x-2}\leq0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{x-1}{(x-3)(x-2)}\leq0.\]

Критические точки: \(1\), \(2\), \(3\). По знакам дроби неравенство выполняется на промежутках \((-,1]\) и \((2,3)\); точки 2 и 3 исключаются из ОДЗ.

Ответ: \(x\in(-\infty,1]\cup(2,3)\).